Hubungan Antar Sudut

Sudut terbentuk sebab dua sinar garis bertemu pada satu titik. Suatu sudut terbentuk dari perpotongan dua sinar garis yang berpotongan sempurna di satu titik, sehingga titik potongnya disebut dengan titik sudut. Nama suatu sudut sanggup berupa simbol α, β, dll, atau menurut titik titik yang melalui garis yang berpotongan tersebut. Pada goresan pena ini hanya membahas sudut bepelurus dan berpenyiku, sudut bertolak belakang, dan hubungan antar sudut pada garis sejajar. Berikut klarifikasi singkatnya.

A. Sudut Berpelurus dan Sudut Berpenyiku
Sudut-sudut berpenyiku ialah sudut-sudut yang kalau digabungkan akan membentuk sudut siku-siku atau 90°. Sudut-sudut berpelurus ialah sudut-sudut yang kalau digabungkan akan membentuk sudut lurus atau 180°.

Gambar 1  di bawah menunjukkan bahwa bahwa: m∠AOB = r°; m∠BOC = s° m∠AOB + m∠BOC = 90°. m∠AOB = 90° – m∠BOC m∠BOC = 90° – m∠AOB Hubungan antara m∠BOC dan m∠AOB disebut sudut berpenyiku.

Gambar 2 di atas menunjukkan bahwa, t + u = 180° t = 180° – u u = 180° – t Hubungan sudut AOB dengan sudut BOC disebut sudut berpelurus.

Ayo Kita Mencoba
Suatu ketika, Pak Tohir mendapat seruan jamuan makan malam dari seorang pejabat tempat di suatu restoran mewah. Pelayan restoran sudah menyiapkan semua kuliner andalan restoran tersebut pada sebuah meja hidangan makanan. Mereka duduk melingkar pada meja hidangan tersebut, yang dilengkapi dengan teknologi untuk menggeser setiap hidangan makanan.

Satu geseran (berlawanan arah putaran jarum jam) setiap hidangan itu berarti menekan sekali tombol hijau. Jika besar sudut satu geseran hanya 45°, harus berapa kali Pak Tohir menekan tombol hijau, kalau beliau berturut-turut mengambil sop iga sapi dan sambal merah sehabis mengambil nasi putih?

Jika posisi awal Pak Tohir menghadap hidangan sop iga sapi, maka berapa kali ia harus menekan tombol hijau biar mendapat udang goreng? Jika posisi awal Pak Tohir menghadap ikan bakar, kemudian ia menekan tombol sebanyak 3 kali, maka hidangan kuliner apa yang diperoleh Pak Tohir? Posisi awal Pak Tohir menghadap sambal merah, kemudian salah seorang tamu yang lain menekan tombol 2 kali. Jika sehabis itu Pak Tohir ingin mendapat hidangan kuliner sayur asem berapa kali Pak Tohir harus menekan tombol hijau?

1. Karena Pak Tohir gres saja mengambil nasi putih, berarti posisi Pak Tohir ialah pada tombol nasi putih. Posisi Pak Tohir pada jamuan makan malam sempurna berada posisi nasi putih. Satu kali pemfokusan tombol, hidangan hanya bergeser sejauh 45°.
2. Satu kali menekan tombol geseran hidangan menghasilkan sudut perubahan sebesar 45°. Setelah mengambil nasi putih, diharapkan pergeseran sudut sebesar 135° untuk menggeser posisi sop iga sapi ke hadapan Pak Tohir. Sudut 45° berpelurus dengan sudut 135°, sesuai dengan posisi nasi putih dan sop iga sapi yang berada pada satu garis lurus. Karena membutuhkan geseran sudut sebesar 135°, artinya Pak Tohir harus menekan tombol geseran sebanyak 3 kali (135 = 3 × 45).
3. Seteleh mengambil sop iga sapi, Pak Tohir menggeser posisi sop iga sapi sebesar 135° untuk memperoleh sambal merah. Artinya Pak Tohir juga harus menekan tombol geseran sebanyak 3 kali.
4. Jadi, dari posisi awal Pak Tohir harus menekan sebanyak 6 kali untuk memperoleh hidangan sop iga sapi dan sambal merah.

Ayo Kita Menalar
1. Setelah kalian melaksanakan acara di atas. Kemudian untuk mengetahui besar sudut yang terbentuk dari posisi awal terhadap posisi hutan pada Masalah 7.1, lakukanlah tahapan-tahapan acara berikut:

• Coba cermati dengan teliti Gambar 7.29. Kita hendak menerapkan konsep sudut-sudut berpenyiku dan berpelurus dalam menuntaskan problem ini.
• Berapa banyak pasangan sudut berpenyiku dan berpelurus pada Gambar 7.29 di atas? Berikan penjelasanmu untuk setiap balasan yang kau miliki.
• Berilah nama/simbol untuk setiap sudut yang terkait dengan pertanyaan soal menyerupai tertera pada Gambar 7.29.  Semua posisi tempat yang disajikan pada gambar bersesuaian dengan arah mata angin. Oleh sebab itu, besar sudut β + besar sudut σ = 90°. Demikian juga besar sudut θ + besar sudut a. Dari ke empat sudut tersebut, sanggup kita pahami bahwa, sudut (β + σ + θ) berpelurus dengan sudut a, atau a = β + σ + θ = 115°.
• Tentukan jumlah besar sudut antara sudut β dengan sudut σ dan sudut θ dengan besar sudut α. Kemudian tentukan jumlah sudut β + σ + θ.  Dari uraian soal di atas diketahui a = 65°, σ = 35°. Sedangkan yang ditanyakan ialah β + σ + θ.  Dengan demikian sanggup dicari sudut dari taman permainan ke hutan =β + σ + θ = 180 – 65 = 115.

2. Jelaskan apa yang dimaksud dengan sudut berpenyiku dan berpelurus

• Dua sudut yang jumlah ukurannya 90°, disebut sudut yang saling berpenyiku. Sudut yang satu disebut penyiku sudut yang lain. Jadi, sudut berpenyiku ialah suatu sudut yang jumlah ialah 90°.
• Dua sudut yang jumlah ukurannya 180°, disebut sudut yang saling berpelurus. Sudut yang satu disebut pelurus sudut yang lain. Jadi, sudut berpelurus ialah suatu sudut yang jumlah ialah 180°

B. Pasangan Sudut yang Saling Betolak Belakang
Jika dua garis berpotongan maka dua sudut yang letaknya saling membelakangi disebut dua sudut yang bertolak belakang. Dua sudut yang saling bertolak belakang ialah sama besar. Sebelum melaksanakan acara menalar, sebaiknya perhatikan uraian berikut ini. Mari kita perhatikan gambar berikut ini.

Pasangan ∠AOB dan ∠COD dan pasangan ∠BOC dan ∠AOD merupakan sudut-sudut bertolak belakang. Selain itu, pada gambar tersebut, ∠AOB dan ∠BOC ialah pasangan sudut berpelurus, sedemikian sehingga berlaku:

1. m∠AOB + m∠BOC = 180º, maka m∠BOC = 180º − m∠AOB. (1)
2. m∠AOB + m∠AOD = 180º, maka m∠AOD = 180º − m∠AOB. (2)

Dari (1) dan (2), berlaku bahwa, m∠BOC = m∠AOD = 180º − m∠AOB. Dengan cara yang sama, sanggup diperoleh ∠AOB dan ∠COD ialah pasangan sudut yang bertolak belakang dan besarnya sama.

Ayo Kita Menalar
Setelah kalian memahami sedikit informasi di atas. Coba kini ambillah dua batang lidi. Peragakanlah posisi dua batang lidi tersebut yang menunjukkan sudut saling berpelurus, saling berpenyiku, dan saling bertolak belakang. Ukurlah besar sudut-sudutnya dan catat hasilnya. Kemudian ujilah hasil acara kalian di atas pada soal berikut.

a. Diketahui tiga buah garis AB, CD, dan EF berpotongan di satu titik, yaitu titik P. Sebutkan pasangan sudut yang bertolak belakang. Tiga buah garis, yaitu AB, CD, dan EF berpotongan di satu titik, yaitu titik P. Perhatikan gambar berikut.

Sudut-sudut yang bertolak belakang adalah

• ∠APC dengan ∠BPD
• ∠CPE dengan ∠DPF
• i∠EPB dengan ∠FPA

b. Perhatikan gambar berikut.

• a + 70 = 180 , a = 180 – 70, a = 110°(sudut berpelurus)
• b = 70° (bertolak belakang)
• c = a, c = 110°(bertolak belakang)
• d + 138 = 180 , d = 180 – 138, d = 42°(sudut berpelurus)
• e = 138° (bertolak belakang)
• f = d , f = 42°(bertolak belakang)
• p + 52 = 180 , p = 180 – 52, p = 128°(sudut berpelurus)
• q = 52° (bertolak belakang)
• r = p , r = 128°(bertolak belakang)

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Tentukan besar sudut yang belum diketahui.

Karena terdapat dua garis sejajar, maka
(a) x = 70° (bertolak belakang)

(b) y + 50 = 180 , y = 180 – 50, y = 130°(sudut berpelurus)

(c) z + 70 + (180 – y) = 180
z + 70 + (180 – 130) = 180
z + 70 + (50) = 180
z + 120 = 180
z = 180 – 120
z = 60°(sudut dalam segitiga)

Jelaskan apa yang dimaksud dengan sudut saling bertolakbelakang.
Jika dua garis berpotongan maka dua sudut yang letaknya saling membelakangi titik potongnya disebut dua sudut yang bertolak belakang. Dua sudut yang saling bertolak belakang ialah sama besar.

C. Hubungan Sudut-sudut pada dua Garis Sejajar
Dua buah garis dikatakan sejajar apabila kedua garis tersebut terletak pada satu bidang datar yang tidak akan berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas.Dua buah garis dikatakan berpotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan kedua garis tersebut berpotongan disalah satu titiknya. Perhatikan gambar di bawah ini.

1. Sudut sehadap, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠4 = ∠8, ∠3 = ∠7.
2. Sudut dalam berseberangan, besarnya sama. Yakni ∠3 = ∠5, ∠4 = ∠6
3. Sudut luar berseberangan, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8
4. Sudut dalam sepihak, jumlah keduanya ialah 180°. Yakni ∠4 + ∠5 = 180°, ∠3 + ∠6 = 180°.
5. Sudut luar sepihak, jumlah keduanya ialah 180°. Yakni ∠2 + ∠7 = 180°, ∠1 + ∠8 = 180°.
6. Sudut bertolak belakang, besarnya sama. Yakni ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4, ∠5 = ∠7, ∠6 = ∠8.

Ayo Kita Berlatih
1. Tentukanlah nilai a pada setiap gambar di bawah ini.

Sudut 2a dan 3a saling berpenyiku
⇔ 2a + 3a = 90°
⇔ 5a = 90°
⇔ a = 90° / 5
 Diperoleh nilai a = 18

Ketiga sudut saling berpelurus
⇔ 46° + (a + 29°) + (5a + 15°) = 180°
⇔ 46° + 29° + 15° + 6a = 180°
⇔ 6a = 180° - 90°
⇔ 6a = 90°
⇔ a = 90° / 6
Diperoleh nilai a = 15°

2. Jika sudut A = 2/5 sudut B. Hitunglah.
a. m∠A dan m∠B kalau keduanya saling berpelurus!
b. Selisih m∠A dan m∠B, kalau kedua sudut saling berpenyiku!

3. Jika m∠A – m∠B = 70°, dan m∠A ialah tiga kali m∠B. Hitunglah!
a. m∠A + m∠B.
Persamaan ∠A - ∠B = 70º disubstitusikan oleh ∠A = 3∠B menjadi,
⇔3∠B - ∠B = 70º
⇔2∠B = 70º
Diperoleh ∠B = 35°
Selanjutnya disubstitusikan ke ∠A = 3∠B,
∠A = 3 x 35°
Diperoleh ∠A = 105°
⇔∠A + ∠B = 105° + 35° = 140°

b. Pelurus sudut A.
Pelurus ∠A + ∠A = 180°
Pelurus ∠A = 180° - ∠A
Pelurus ∠A = 180° - 105°
Pelurus ∠A = 75°

4. Perhatikan gambar di bawah ini.

Sebutkanlah pasangan:
a. Sudut-sudut sehadap.
∠A₁ = ∠B₁, ∠A₂ = ∠B₂, ∠A₃ = ∠B₃, ∠A₄ = ∠B₄
∠A₁ = ∠D₁, ∠A₂ = ∠D₂, ∠A₃ = ∠D₃, ∠A₄ = ∠D₄
∠B₁ = ∠C₁, ∠B₂ = ∠C₂, ∠B₃ = ∠C₃, ∠B₄ = ∠C₄
∠C₁ = ∠D₁, ∠C₂ = ∠D₂, ∠C₃ = ∠D₃, ∠C₄ = ∠D₄

b. Sudut-sudut sepihak (dalam dan luar).
Sepihak dalam =
∠A₂ = ∠B₁, ∠A₃ = ∠B₄
∠C₁ = ∠D₂, ∠C₄ = ∠D₃
∠A₃ = ∠D₂, ∠A₄ = ∠D₁
∠B₃ = ∠C₂, ∠B₄ = ∠C₁

Sepihak luar =
∠A₁ = ∠B₂, ∠A₄ = ∠B₃
∠A₁ = ∠D₄, ∠A₂ = ∠D₃
∠B₁ = ∠C₄, ∠B₂ = ∠C₃
∠C₂ = ∠D₁, ∠C₃ = ∠D₄

c. Sudut-sudut berseberangan (dalam dan luar).
Berseberangan dalam =
∠A₂ = ∠B₄, ∠A₃ = ∠B₁
∠B₃ = ∠C₁, ∠B₄ = ∠C₂
∠C₁ = ∠D₃, ∠C₄ = ∠D₂
∠A₃ = ∠D₁, ∠A₄ = ∠D₂

Berseberangan luar =
∠A₁ = ∠B₃, ∠A₄ = ∠B₂
∠B₂ = ∠C₄, ∠B₁ = ∠C₃
∠C₂ = ∠D₄, ∠C₃ = ∠D₁
∠A₁ = ∠D₃, ∠A₂ = ∠D₄

5. Perhatikan posisi setiap pasangan sudut pada gambar di samping. Tentukanlah nilai x.

Nilai x = 28°
Caranya?☀

6. Selidikilah benar tidaknya pernyataan berikut ini.
“Ukuran suatu sudut lancip sama dengan selisih pelurusnya dengan dua kali penyikunya.“
Benar, pembukian:
x=sudut lancip
x=180-x-2(90-x)
x=180-x-180+2x
x=x

7. Salinlah gambar berikut ini, kemudian tentukanlah besar sudut yang belum diketahui.! Tentukanlah besar sudut:

a. ∠ABC = 180 - 120 = 60 (berpelurus ABD)
b. ∠ACB = 180 - (60 + 55) = 180 - 115 = 65 (jumlah sudut segitiga)
c. ∠ACG = 180 - 65 = 115 (berpelurus dengan  ACB)
d. ∠FCG = 65 (bertolak belakang dengan ACB)

8. Perhatikan gambar berikut!
Besar sudut nomor 1 ialah 95°, dan besar sudut nomor 2 ialah 110°. Besar sudut nomor 3 adalah.…

∠1 bertolak belakang dengan ∠4 sehingga ∠1 = ∠4 = 95°
∠4 sehadap dengan ∠5 sehingga ∠4 = ∠5 = 95°
∠2 dan ∠6 saling berpelurus sehingga ∠2+∠6 = 180. 110 + ∠6 = 180. ∠6 = 70

Untuk memilih besar sudut ∠3 memakai konsep jumlah sudut segitiga
∠3 + ∠5 + ∠6 = 180°
∠3 + 95+70 = 180°
∠3 + 165 = 180°
∠3 = 180° - 165°
= 15°

9. Perhatikan gambar!

Besar ∠BAC ialah ….
Perhatikan bahwa ACD ialah garis lurus. Sehingga ∠ACB dan ∠DCB saling berpelurus. Dengan demikian sehingga ∠ACB = 180 - 108 = 72. Selanjutnya, sebab jumlah besar sudut-sudut segitiga ialah 180, maka diperoleh: ∠BAC+∠ACB+∠ABC = 180
∠BAC + 72 + 36 = 180
∠BAC = 180 -72- 36
∠BAC = 72.

10. Diketahui garis L1 sejajar garis L2 dan garis L3 sejajar garis L4

Besar sudut y – x ialah ….
x = 180 - 110 - 35 = 35
⇔2x = 2.35 = 70
⇔y+x+60 = 180
⇔y+x = 180 -60
⇔y+x = 120
⇔y+x-2x = 120 -70
⇔y-x = 50

11. Tentukan besar sudut TUV pada Gambar berikut

180 =  (7x+9x-5x)+5x+8x
⇔180 = 11x+5x+8x
⇔180 = 240x
⇔x=180/24
⇔30/4
⇔7,5
TUV =8(7,5)=60°

12. Perhatikan gambar berikut ini

Pada gambar di atas diketahui garis g // k, ∠P2 = P3 dan ∠R1 = R2. Jika ∠P1 = 128°, tentukan besar sudut yang lain.
180 -  p1 = p2 + p3
180 -128 = p2 + p3
52            = p2 + p3

Karena p2 dan p3 sama besarnya, maka
p2 = 52/2 = 26
p3 = 52/2 = 26

R1 = 180 -  p1
R1 = 180 - 128
R1 = 52

Karena R1 dan R2 sama , maka R2 = 52
R3 = 180 - R1 - R2
R3 = 180 - 52 -52
R3 = 180 - 104
R3 = 76

13. Pada gambar di bawah garis PQ // AB

a. Tentukan sudut-sudut yang sehadap. ∠PQC dengan ∠ABC dan ∠QPC dengan ∠BAC
b. Jika ∠C = 30° dan ∠QPC = 67°, maka tentukan besar ∠CAB, ∠CQP, ∠CBA, ∠PQB, dan ∠APQ.

• ∠CAB = 67°(sehadap QPC), 
• ∠CQP = 180 - 30 - 67 = 83° (jumlah sudut segitiga)
• ∠CBA = 83° (sehadap CQP)
• ∠PQB = 180 - 83°= 97° (berpelurus dengan CQP)
• ∠APQ = 180 - 67 = 113° (berpelurus dengan CPQ)